Mode de génération d'une suite

On peut définir une suite de deux façons : 

• par une formule explicite ;
• par une formule de récurrence. 
  

On parle du mode de génération de la suite.

Définition  Suite définie à l'aide d'une formule explicite  `u_n=f(n)`

Une suite est générée par une formule explicite lorsque le terme  `u_n` est donné en fonction de l’entier `n\in\mathbb{N}` .

Il existe une fonction  \(f\) , définie sur un intervalle  `I`  de  `\mathbb{R}` , et  `n`  un entier naturel tels que le terme de rang  `n` de la suite  `u` est l'image de  `n` par la fonction `f` , soit `u_n=f(n)` .

Définition  Suite définie à l'aide d'une formule de récurrence  `u_(n+1)=f(u_n)`  

Une suite est générée par une formule de récurrence lorsque :
1. son premier terme est donné et noté `u_(n_0)`  avec  `n_0\in\mathbb{N}` ,
2. une relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent (ou des précédents).
La relation est appelée relation de récurrence.

Il existe une une fonction   `f` définie sur un intervalle  `I`  de  `\mathbb{R}` telle que  `f(I)\subsetI` et  `n`  un entier naturel de sorte que le terme de rang  `n+1` de la suite  `u` est l'image de   `u_n`   par la fonction   `f` , soit  `u_(n+1)=f(u_n)` .

Remarques

• Lorsqu'une suite est définie par une formule explicite, il est possible de calculer chaque terme  `u_n` en fonction de son rang  `n` . Alors que, si elle est définie à l'aide d'une relation de récurrence, calculer le terme  `u_n`  de rang  `n`  nécessite de connaître le terme précédent  `u_(n-1)`  et tous ses prédécesseurs. 
  
• La relation de récurrence peut faire intervenir plusieurs termes précédents et la variable  `n` .